Übertragungskriterien zur Adaptierung von Mathematikaufgaben für Schülerinnen und Schüler mit Blindheit oder Sehbehinderung

Stand: 23.01.2020

Mathematik (AHS), Angewandte Mathematik (BHS) Berufsreifeprüfung Mathematik (BRP)

Das vorliegende Dokument wurde auf der Grundlage von Übertragungskriterien zusammengestellt, die für die Digitalisierung von Schulbüchern für Schülerinnen und Schüler mit Blindheit oder Sehbehinderung im Rahmen des Projekts "Schulbuch Barrierefrei" 2011 erstellt wurden (http://bookaccess.at/). In ständiger Zusammenarbeit mit Expertinnen und Experten aus ganz Österreich und den für die Übertragung der Schulbücher Verantwortlichen werden regelmäßig Erfahrungen ausgetauscht und gegebenenfalls Anpassungsvorschläge an diese Verantwortlichen weitergeleitet.

Ansprechpersonen:

Elisabeth Stanetty, MA
Bundes-Bildungsinstitut - Schwerpunkt Sehen (BBI)
elisabeth.stanetty@bbi.at

Mag.a Sonja Kramer
BMBWF, standardisierte Reifeprüfung Mathematik AHS
sonja.kramer@bmbwf.gv.at

Mag. Rudolf Kuchlbacher
BAfEP 10, Bundesbildungsanstalt für Elementarpädagogik
rudolf.kuchlbacher@bildung.gv.at

Inhalt
1	Übungsmaterial
2	Spezielle Anpassungen
2.1	Mathematische Sonderzeichen und Einheiten
2.2	Griechisches Alphabet
2.3	Indices
2.4	Pfeile
2.5	Klammern
2.6	Intervalle
2.7	Rechenzeichen
2.8	Vergleichszeichen
2.9	Teilbarkeit
2.10	Wurzeln
2.11	Brüche
3	Logik und Mengenlehre
3.1	Symbole der Logik
3.2	Mengen - allgemein
3.3	Relationen
3.4	Zahlenmengen
4	Algebra und Geometrie
4.1	Geometrie
4.2	Vektoren
4.3	Matrizen
4.4	Komplexe Zahlen
5	Funktionen
5.1	Winkelfunktionen
5.2	Logarithmusfunktionen
5.3	Folgen und Reihen
6	Analysis
6.1	Grenzwerte
6.2	Differenzialrechnung
6.3	Integralrechnung
7	Stochastik
7.1	Kombinatorik
7.2	Wahrscheinlichkeit
7.3	Statistik

1	Übungsmaterial
Übungsmaterialien für Schülerinnen und Schüler mit Blindheit oder Sehbehinderung:
https://www.srdp.at/schriftliche-pruefungen/uebungsmaterialien-fuer-schuelerinnen-mit-blindheit-oder-sehbehinderung/

2	Spezielle Anpassungen
2.1	Mathematische Sonderzeichen und Einheiten
Um mathematische Sonderzeichen als solche sofort zu erkennen, wird diversen Buchstabenkombinationen das Zeichen ' vorangestellt, wenn eine eindeutige Zuordnung dadurch erleichtert wird.
z.B.:
'e			Euler'sche Zahl 
'pi			Kreiszahl 
'i oder 'j	imaginäre Einheit, 'i^2 =-1, 'j statt 'i findet 			hauptsächlich in der Elektrotechnik Anwendung

Besondere Darstellungen
z.B.:
%0			Promille
^. oder ^-	Perioden bei Dezimalzahlen, z.B.:
			0,3^. =0,333...;
			4,91^.2^.3^. oder 4,9(123)^- =4,9123123123...

Vor Einheiten ist immer ein Leerzeichen gesetzt.
z.B.:
5 kg
3 °C
7 kV
10 km/h
9,81 m/s^2
Ausnahmen:
Winkelmaß Grad, z.B.: 30°
Einheit mit der Vorsilbe Mikro, z.B.: 3 'my g

2.2	Griechisches Alphabet
Fast alle griechischen Buchstaben werden mit den ersten beiden Buchstaben und dem vorangestellten Zeichen ' abgekürzt.
(kleiner oder großer Anfangsbuchstaben, je nach Verwendung)
'al	alpha
'be	beta
'ga	gamma
'de	delta
'ep	epsilon
'ze	zeta
'et	eta
'th	theta
'io	iota
'ka	kappa
'la	lambda
'my	my
'ny	ny
'xi	xi
'omi omikron (sonst ident mit omega)
'pi	pi
'rh	rho
'si	sigma
'ta	tau
'yp	ypsilon
'ph	phi
'ch	chi
'ps	psi
'om	omega

2.3	Indices
Der obere Index wird vor dem unteren angegeben.

^	Zirkumflex für obere hintere Indices
Der Index folgt ohne Abstand, folgen mehrere Indices oder ist die Eindeutigkeit der Lesbarkeit gefährdet, werden die Indices in Klammern gesetzt.
z.B.:
a^*		a*
'R^+		
x^(a +b)	xa+b

^	Zirkumflex für obere vordere Indices
Vor dem Zirkumflex wird ein Leerzeichen gesetzt.
Alle hochgestellten Inhalte werden eingeklammert.
z.B.:
. ^(2)x		2x		. ... Leerzeichen
. ^(n -1)x	n-1x

_	Unterstrich für untere hintere Indices
Der Index folgt ohne Abstand, folgen mehrere Indices oder ist die Eindeutigkeit der Lesbarkeit gefährdet, werden die Indices in Klammern gesetzt.
z.B.:
r_1			r1
r_(1,2)		r1,2
(r_1)^2		r21	(r1 hoch 2)
(s_(n -1))^2	s2n-1	(sn-1 hoch 2)

_	Unterstrich für untere vordere Indices
Vor dem Unterstrich wird ein Leerzeichen gesetzt.
Alle tief gestellten Inhalte werden eingeklammert.
z.B.:
. _(2)x		2x		. ... Leerzeichen
2.4	Pfeile
ein Abstand vor und ein Abstand nach dem Zeichen
->	Pfeil nach rechts
-->	Doppelpfeil nach rechts
<-	Pfeil nach links
<--	Doppelpfeil nach links
<->	Pfeil nach links und rechts
<-->	Doppelpfeil nach links und rechts
|>	Pfeil aufwärts
|<	Pfeil abwärts

2.5	Klammern
(...)	runde Klammern
[...]	eckige Klammern
{...}	geschwungene (geschweifte) Klammern
<...>	spitze Klammern
{		Klammer über mehrere Zeilen,
z.B. abschnittsweise definierte Funktionen;
		Bei der Linearisierung von mehreren Informationen 		wird jede Zeile in eckige Klammern gesetzt,
		z.B.: |x| ={[x "falls" x >=0] [-x "sonst"]

2.6	Intervalle
[...; ...]	
abgeschlossenes Intervall, z.B.: [3; 10]
(...; ...) oder ]...; ...[
offenes Intervall, z.B.: (3; 10) oder ]3; 10[
[...; ...) oder [...; ...[
rechts halboffenes Intervall, z.B.: [3; 10) oder [3; 10[
(...; ...] oder ]...; ...]
links halboffenes Intervall, z.B.: (3; 10] oder ]3; 10]

2.7	Rechenzeichen
ein Abstand vor und kein Abstand nach dem Zeichen
z.B.: (-5) +(+3) =(+2)
+		Addition (und Vorzeichen)
-		Subtraktion (und Vorzeichen)
*		Multiplikation
/		Division, Bruchstrich, Verhältnis 
		ohne Abstand vor und nach dem Zeichen
+-		Plus oder Minus
-+		Minus oder Plus
(...)	runde Klammer
|...|	Betrag

2.8	Vergleichszeichen
ein Abstand vor und kein Abstand nach dem Zeichen
=	gleich
\=	nicht gleich
==	ident, kongruent
~~	ungefähr
~	proportional
=^	entspricht
>	größer als
>=	größer als oder gleich
\>	nicht größer als
<	kleiner als
<=	kleiner als oder gleich
\<	nicht kleiner als
>>	viel größer als
<<	viel kleiner als

2.9	Teilbarkeit
ein Abstand vor und ein Abstand nach dem Zeichen
|		teilt, z.B.: 5 | 10
\|		teilt nicht, z.B.: 3 \| 10
|-		teilerfremd, z.B.: 3 |- 7
'ggT(...)	größter gemeinsamer Teiler, z.B.: 'ggT(5, 10) =5
'kgV(...)	kleinstes gemeinsames Vielfache, z.B.: 'kgV(2, 3) =6

2.10	Wurzeln
Der Radikand wird unmittelbar an das Wurzelzeichen angeschlossen und in runde Klammern gesetzt.
'w(...)		Quadratwurzel von ...
'w[n](...)	n-te Wurzel von ...
z.B.:
'w(2)		Quadratwurzel aus 2
'w(x +2)		Quadratwurzel aus x+2
'w[3](a^3)	dritte Wurzel aus a3

2.11	Brüche
Bei Zahlenbrüchen wird der Bruchstrich durch einen Schrägstrich dargestellt, Zähler und Nenner werden ohne Abstand geschrieben. Gemischte Zahlen werden durch ein Leerzeichen getrennt.
z.B.:
3/4
1 1/2 =3/2

Sobald mehrere Ausdrücke im Zähler oder Nenner stehen und das Erkennen der Vorrangregeln durch die Linearisierung schwierig wird, werden Zähler und Nenner in runde Klammern gesetzt.
z.B.:
(2 *a *b)/(c -3 *d)
(2 *x^3)/(y^2)

Bei Doppelbrüchen wird der Hauptbruchstrich durch zwei Schrägstriche dargestellt. Es werden nur runde Klammern entsprechend den Vorrangregeln verwendet.
Ein Abstand folgt nach dem Hauptbruchstrich.
z.B.:
((2 *x +8)/(4 *x -2))// ((x -8)/(5 *x +2))
Bei der Angabe von Maßstäben in Texten wird das Zeichen ":" übernommen. Vor und nach ":" wird ein Leerzeichen gesetzt.
z.B.:
1 : 20
3	Logik und Mengenlehre
3.1	Symbole der Logik
'o=		nicht ausschließendes "oder",
		z.B.: A 'o= B (Bedeutung: A oder B oder beide)
'o		ausschließendes "oder",
		z.B.: A 'o B (Bedeutung: A oder B)
'u		... und ..., z.B.: 	A 'u B
\		Negation einer Aussage
A --> B	aus A folgt B
A <-- B	aus B folgt A
A <--> B	aus A folgt B und umgekehrt
'Ax		für alle Elemente x
\'Ax		nicht für alle Elemente x
'Ex		es existiert mindestens ein Element x
'E!x		es existiert genau ein Element x
\'Ex		es existiert kein Element x

3.2	Mengen - allgemein
{}		leere Menge
{...}	Aufzählung der Elemente einer Menge,
		z.B.: {1, 2, 3}, {1,2; 3,4; 4,8; ...}
|		für die gilt, Abstand davor und danach,
		z.B.: A ={x 'el 'N | x >=5}
3.3	Relationen
ein Abstand vor und ein Abstand nach dem Relationszeichen
'el		Element von, z.B.: 5 'el 'N
\'el		kein Element von, z.B.: 5 \'el 'N_g
'TM		Teilmenge von, z.B.: A 'TM B
'eTM		echte Teilmenge von
'OM		Obermenge von
'eOM		echte Obermenge von
'DM 		Durchschnittsmenge bilden, z.B.: A 'DM B
'VM 		Vereinigungsmenge bilden, z.B.: A 'VM B
\		Differenzmenge bilden, z.B.: A \ B
'SD		Symmetrische Differenz, z.B.: A 'SD B

3.4	Zahlenmengen
'N		natürliche Zahlen mit 0
'N^*		natürliche Zahlen ohne 0
'N_g		gerade natürliche Zahlen
'N_u		ungerade natürliche Zahlen
'P		Primzahlen
'Z		ganze Zahlen
'Z^+		positive ganze Zahlen
'Z^-		negative ganze Zahlen
'Z^+_0	positive ganze Zahlen mit Null
'Z^-_0	negative ganze Zahlen mit Null
'Z^+_g	positive gerade ganze Zahlen
'Z^+_u	positive ungerade ganze Zahlen
'Q		rationale Zahlen 
'R		reelle Zahlen
'C		komplexe Zahlen

4	Algebra und Geometrie
4.1	Geometrie
A, B, C	Punkte
(AB)^-	Strecke zwischen den Punkten A und B
|AB|		Länge der Strecke zwischen den Punkten A und B
'wi(...)	Winkel zwischen ...
'rw 		rechtwinkelig (normal, orthogonal) auf
||		parallel zu, z.B.: g || h
\||		nicht parallel zu

4.2	Vektoren 
'va			Vektor a
'va_0		Einheitsvektor a0
-'va			zu Vektor a entgegengesetzter Vektor gleicher 			Richtung
'vn			Normalvektor
'v_0			Nullvektor
'vi, 'vj, 'vk	Basisvektoren der Achsen
'va *'vb		Skalarprodukt
'va 'x 'vb	Kreuzprodukt
'vAB			Vektor von A nach B
|'va|		Länge des Vektors a
|'vAB|		Länge des Vektors von A nach B
'R^2			zweidimensionale Angaben folgen
'R^3			dreidimensionale Angaben folgen
(x|y)		Koordinatenangaben in R2
(x|y|z)		Koordinatenangaben in R3

Sollte es relevant sein, ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt, wird die Matrizen-Schreibweise verwendet.
z.B.: 'va ='mat[3|1]([-4][8][5]) ist ein sogenannter Spaltenvektor mit 3 Zeilen und 1 Spalte

4.3	Matrizen
'mat[m|n] ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten,
z.B.:
'mat[2|3] ist eine zwei mal drei Matrix

Jede Zeile der Matrix steht zwischen eckigen Klammern, die Trennung der Eingaben erfolgt durch Strichpunkte. Beginn und Ende der Matrix werden mit runden Klammern gekennzeichnet.
z.B.:
'mat[2|4]([1; 2; 3; 4][4; 3; 2; 1])

'det[A]		Determinante einer Matrix A

4.4	Komplexe Zahlen
'i oder 'j	imaginäre Einheit, 'i^2 =-1, die Bezeichnung 'j
			statt 'i findet hauptsächlich in der
			Elektrotechnik Anwendung
z =a +b *'i	komplexe Zahl z
z^*			konjugiert komplexe Zahl zu z
'Re(z)		Realteil von z, 'Re(z) =a
'Im(z)		Imaginärteil von z, 'Im(z) =b
'arg(z)		das Argument der komplexen Zahl z, 'arg(z) ='ph

Elektrotechnik:
u^			"u Dach", Spitzenwert von u
u_			"u Unterstrich", Imaginärteil von u

Polarformen einer komplexen Zahl:
(r; 'ph)		Polarform (r; φ) und Versor r φ

5	Funktionen
D 			Definitionsmenge
D_f			Definitionsmenge einer Funktion f
W			Wertemenge
W_f			Wertemenge einer Funktion f
f: x -> y		die Funktion f ordnet jedem Argument x genau
			einen Funktionswert y zu
f(x)			Funktionswert an der Stelle x
'arg(...)		Argument zum Funktionswert ...
			z.B.: 'arg(f(x)) =x
'vk			Verkettung f ᴏ g
			z.B.: (f 'vk g 'vk h)(x) =f(g(h(x)))
F^^			Fourier-Transformierte
			anstelle des Korrespondenzsymbols :
			F('om) =F^^{f(t)}
L^^			Laplace-Transformierte
			anstelle des Korrespondenzsymbols :
			F(s) =L^^{f(t)}

5.1	Winkelfunktionen
'sin(...)		Sinus von ...
			z.B.: 'sin('al)
'cos(...)		Cosinus von ...
			z.B.: 'cos('al)
'tan(...)		Tangens von ...
			z.B.: 'tan('al)
'cot(...)		Cotangens von ...
			z.B.: 'tan('al)
'arcsin(...)	Arcussinus von ...
			z.B.: 'arcsin('al)
'arccos(...)	Arcuscosinus von ...
'arctan(...)	Arcustangens von ...
'arccot(...)	Arcuscotangens von ...
'sinh(...)	Sinus Hyperbolicus von ...
'cosh(...)	Cosinus Hyperbolicus von ...
'tanh(...)	Tangens Hyperbolicus von ...
'coth(...)	Cotangens Hyperbolicus von ...
'arcsinh(...)	Arcussinus Hyperbolicus von ...
'arccosh(...)	Arcuscosinus Hyperbolicus von ...
'arctanh(...)	Arcustangens Hyperbolicus von ...
'arccoth(...)	Arcuscotangens Hyperbolicus von ...

5.2	Logarithmusfunktionen
'log(...)		Logarithmus von ...
'log_a(...)	Logarithmus von ... zur Basis a
'lg(...)		Logarithmus von ... zur Basis 10
'ln(...)		natürlicher Logarithmus von ... zur Basis 'e
'lb(...)		Logarithmus von ... zur Basis 2

5.3	Folgen und Reihen
'ue			unendlich
a_n			Folgenglieder an
(a_n)		Folge aller Folgenglieder an
(a_n) -> a	Folge an konvergiert gegen Grenzwert a
n -> 'ue		n geht gegen unendlich

'Si				Summe (griechischer Großbuchstabe Sigma)
'Si[i 'el I]		Summe aller i aus der Menge I 
'Si[i =1; n](a_n)	Summe aller Folgenglieder von a1 bis an
'Pi				Produkt (griechischer Großbuchstabe Pi)
'Pi[i 'el I]		Produkt aller i aus der Menge I
'Pi[i =1; n](a_n)	Produkt aller Folgenglieder von a1 bis an

6	Analysis
6.1	Grenzwerte
'ue					unendlich
'lim					Limes
z.B.:
'lim[x -> a](f(x))	Grenzwert der Funktion f,
für x geht gegen a
'lim[x -> +'ue](f(x))	Grenzwert der Funktion f,
für x geht gegen plus unendlich
'lim_l[x -> a](f(x))	linksseitiger Grenzwert der
Funktion f, für x geht gegen a
'lim_r[x -> a](f(x))	rechtsseitiger Grenzwert der
Funktion f, für x geht gegen a

6.2	Differenzialrechnung
'd	Ableitung, z.B.: 'd(f)/'d(x)
	2. Ableitung in dieser Schreibweise:
	z.B.: 'd^2(f)/'d(x^2)
'dp			partielle Ableitung, z.B.: 'dp(f)/'dp(x)
			partielle Ableitung 1. Ordnung von f(x,y):
			f_x oder 'dp(f)/'dp(x)
			f_y oder 'dp(f)/'dp(y)
			partielle Ableitung 2. Ordnung von f(x,y):
			f_(xx) oder 'dp^2(f)/'dp(x^2)
			f_(xy) oder 'dp^2(f)/('dp(x)'dp(y))
			f_(yx) oder 'dp^2(f)/('dp(y)'dp(x))
			f_(yy) oder 'dp^2(f)/'dp(y^2)
f'(x)	1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x, gilt auch für die Schreibweise ẏ
f''(x)	2. Ableitung der Funktion f an der Stelle x, gilt auch für die Schreibweise ÿ
f'''(x)		3. Ableitung der Funktion f an der Stelle x
f^[n](x)		n-te Ableitung der Funktion f an der Stelle x

6.3	Integralrechnung
'int (...)			Integral,
					z.B.: 'int(f(x) 'dx)
F					Stammfunktion
'int[...; ...](...)		bestimmtes Integral,
					z.B.: 'int[a; b](f(x) 'dx)
Es gilt:
'int[a; b](f(x) 'dx) =F(x)|[a; b] =F(b) -F(a)

7	Stochastik
7.1	Kombinatorik
!		Fakultät oder Faktorielle, z.B.: 3! =3 *2 *1 =6
'(n\k)	Binomialkoeffizient n über k
Abzählformel für die ungeordnete Auswahl von k Objekten aus n vorgegebenen Elementen ohne Wiederholung
'((n\k))	Abzählformel für die ungeordnete Auswahl von k Objekten aus n vorgegebenen Elementen mit Wiederholung

7.2	Wahrscheinlichkeit
\E		Gegenereignis zum Ereignis E
P(A)		Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
P(A|B)	bedingte Wahrscheinlichkeit von A, unter der Voraussetzung B

7.3	Statistik
x^-		arithmetisches Mittel
x^~		Median